【典型例题·计算题】D公司是一家上市公司，其股票于8月1日收盘价为每股40元。有一种以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为42元，到期时间是3个月。3个月以内公司不会派发股利，3个月以后股价有2种变动的可能：上升到46元或者下降到30元。3个月到期的国库劵利率为4%(年名义利率)。
要求：
(1)利用风险中性原理，计算D公司股价的上行概率和下行概率，以及看涨期权的价值。
(2)如果该看涨期权的现行价格为2.5元，请根据套利原理，构建一个投资组合进行套利。
(3)如果该看涨期权的现行价格是3元，请根据套利原理，构建一个投资组合进行套利。
【答案及解析】
(1)股价上升百分比=(46-40)/40×100%=15%
股价下降百分比=(40-30)/40×100%=25%
期望报酬率=4%/4=上行概率×15%+(1-上行概率)×25%
上行概率=0.65
下行概率=1-上行概率=0.35
Cu=46-42=4(元) Cd=0
期权现值=(4×0.65+0×0.35)/(1+1%)=2.57(元)
(2)套利保值比率=(4-0)/(46-30)=0.25
借款=30×0.25/(1+1%)=7.34(元)
由于期权价格低于期权价值，因此套利过程如下：卖出0.25股股票，借出款项7.43元，此时获得0.25×40-7.43=2.57(元)，同时买入1股看涨股权，支付2.5元期权费用，获利2.57-2.5=0.07(元)
3个月后，无论股价上升或是下跌，套利组合的预期现金流量都是0：
| 股价上行至46元（执行期权） |
股价下行至30元（放弃期权） |
| 执行期权获利：46－42＝4元
收回借款：7.43×（1＋1%）＝7.50元
购回0.25股股票：－0.25×46＝－11.50元
合计现金流量：0 |
收回借款：7.43×（1＋1%）＝7.50元
购回0.25股股票：－0.25×30＝－7.50元
合计现金流量：0 |
(3)如果该看涨期权的现行价格为3元，则套利投资组合如下：
由于期权价格3元>期权价值2.57元，所以套利过程为：卖出看涨期权，买入股票，同时借入资金，具体操作如下：
套期保值比率H=(4-0)/(46-30)=0.25
借入资金=30×0.25÷(1+1%)=7.43元
当期套利利润如下：
买入0.25股股票的现金流出=40×0.25=10元;
卖出看涨期权的现金流入=3元;
借入资金的现金流入=7.43元
套利利润=7.43+3-10=0.43元
3个月后，无论股价上升或是下跌，套利组合的预期现金流量都是0。
| 股价上行至46元（执行期权） |
股价下行至30元（放弃期权） |
| 支付给多头的现金流出＝42－46＝－4元
偿还借款现金流出＝－7.43×（1＋1%）＝－7.50元
卖出0.25股股票的现金流入＝0.25×46＝11.50元
合计现金流量＝0 |
偿还借款现金流出＝－7.43×（1＋1%）＝－7.50元
卖出0.25股股票的现金流入＝0.25×30＝7.50元
合计现金流量＝0 |
【典型例题·计算题】假设ABC公司的股票现在的市价为60元。有1股以该股票为标的资产的看涨期权，执行价格为62元，到期时间是6个月。6个月以后股价有两种可能：上升33.33%，或者下降25%。无风险利率为每年4%，则利用复制原理、套期保值原理确定期权价值时，要求计算下列指标：
1.套期保值比率(保留四位小数)。
2.期权价值。
3.若期权价值为9元，建立一个套利组合。
4.若期权价格为8元，建立一个套利组合。
【答案】
1.套期保值比率
(1) 建立股价二叉树及期权二叉树：
上行股价SU=S0×U=60×1.3333=80(元)
下行股价Sd=S0×d=60×0.75=45(元)
股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格=80-62=18(元)
股价下行时期权到期日价值Cd=0
(2) 套期保值比率=期权价值变化/股价变化=(CU- Cd)/(SO- Sd)=(18-0)/(85-45)=0.5143
2. 期权价值
(1)借款数额=(到期日下行股价×套期保值比率—股价下行时期权到期日价值)÷(1+r)=(H×Sd-Cd)/(1+r)=(45×0.5143-0)/(1+4%/2)=22.69(元)
购买股票支出=套期保值比率×股票现价=H×S0=0.5143×60=30.86(元)
则期权的价值C0=投资组合成本=购买股票支出-借款=30.86-22.69=8.17(元)
3.由于目前看涨期权价格为9元高于8.17元，所以存在套利空间。套利组合应为：出售1份看涨期权，借入22.69元，买入0.5143股股票，可套利0.83元。
4.由于目前看涨期权价格为8元低于8.17元，所以存在套利空间。套利组合应为：卖空0.5143股股票，买入无风险债券22.69元，买入1股看涨期权进行套利，可套利0.17元。
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